\fuxiti
\begin{xiaotis}
\begin{enhancedline}

\xiaoti{已知： $O$ 是 $\triangle ABC$ 内的一点。求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\angle BOC > \angle A$；}

    \xxt{$\exdfrac{1}{2} (BC + CA + AB) < OA + OB + OC$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知： $\triangle ABC$ 的 $\angle B$ 和 $\angle C$ 的平分线 $BE$、$CF$ 交于点 $I$。求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{$\angle BIC = 180^\circ - \exdfrac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB)$；}

    \xxt{$\angle BIC = 90^\circ + \exdfrac{1}{2} \angle A$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{有星形如图，求证： $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = 180^\circ$。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-fuxi-03}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=3.8cm]{../pic/czjh1-ch3-fuxi-04.png}
        \caption*{（第 4 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{一个零件的形状如图，按规定 $\angle A$ 应等于 $90^\circ$， $\angle B$、 $\angle C$
    应分别是 $21^\circ$ 和 $32^\circ$。 检验工人量得 $\angle BDC = 148^\circ$，
    就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
}


\xiaoti{求证： 如果延长 $\triangle ABC$ 的中线 $AD$ 至 $A'$， 使 $DA' = AD$， 那么 $A'C = AB$。}

\xiaoti{求证： 全等三角形对应边上的中线相等。}

\xiaoti{求证： 三角形一条边的两端到这边上的中线或中线延长线的距离相等。}

\xiaoti{求证： 如果两个三角形有两个角和第三个角的角平分线对应相等，那么这两个三角形全等。}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[\xxtsep]{在 $\angle AOB$ 的 $OA$ 边上取两点 $P$ 和 $S$， 再在 $OB$ 边上取两点 $Q$ 和 $T$，
        使 $OQ = OP$， $OT = OS$， $PT$ 和 $QS$ 相交于点 $X$。\\
        求证： $OX$  平分 $\angle AOB$；
    }

    \xxt{根据（1） 设计一种作已知角的平分线的方法。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知：如图， 点 $C$ 为线段 $AB$ 上一点， $\triangle ACM$、 $\triangle CBN$ 是等边三角形。\\
    求证： $AN = BM$。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-fuxi-10}
        \caption*{（第 10 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-fuxi-11}
        \caption*{（第 11 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-fuxi-13}
        \caption*{（第 13 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{在等边三角形 $ABC$ 的三边上，分别取点 $D$、$E$、$F$， 使 $AD = BE = CF$。 \\
    求证： $\triangle DEF$ 是等边三角形。
}

\xiaoti{已知； $\triangle ABC$ 中， $I$ 是角平分线 $BE$ 和 $CF$ 的交点，
    $MN$ 经过 $I$， 平行于 $BC$， 交 $AB$ 于点 $M$， 交 $AC$ 于点 $N$。 \\
    求证： $MN = BM + CN$。
}

\xiaoti{已知 $P$、 $Q$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上两点，
    并且 $BP = PQ = QC = AP = AQ$， 求 $\angle BAC$ 的大小。
}

\xiaoti{求证： 如果把等腰三角形的底边向两方向分别延长相等线段，那么延长线段的两个外端与等腰三角形的顶点距离相等。}

\xiaoti{已知： $AB$ 是等腰直角三角形 $ABC$ 的斜边， $AD$ 是 $\angle A$ 的平分线。 求证：$AC + CD = AB$。}

\xiaoti{已知： $\triangle ABC$ 中， $AB = AC$， $E$ 是 $AB$ 上一点， $F$ 是 $AC$ 延长线上一点，
    $BE = CF$， $EF$ 交 $BC$ 于 $D$。 求证： $DE = DF$。
}

\xiaoti{已知： $DC \pingxing AB$， $O$ 是 $AC$ 和 $BD$ 的交点， $OA < OB$。求证： $OC < OD$。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-fuxi-17}
        \caption*{（第 17 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-fuxi-18}
        \caption*{（第 18 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-fuxi-19}
        \caption*{（第 19 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{已知： $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线， $\angle BAD > \angle DAC$。 求证： $AC > AB$。\\
    （提示： 延长 $AD$ 到 $A'$， 使 $DA' = AD$， 连续 $BA'$， 先证明 $\triangle ADC \quandeng \triangle A'DB$。）
}

\xiaoti{已知：$\triangle ABC$ 中， $\angle ABC = 45^\circ$， $H$ 是高 $AD$ 和 $BE$ 的交点。 求证：$BH = AC$。}

\xiaoti{求证： 等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。}

\xiaoti{已知： $\triangle ABC$ 中 $BE$、$CF$ 是高，$M$ 是 $BC$ 的中点， $N$ 是 $EF$ 的中点。\\
    求证： （1）$ME = MF$； （2） $MN \perp EF$。
}

\xiaoti{已知： $\triangle ABC$ 中， $AD$ 是 $BC$ 上的高， $AB = AC = 2 AD$，
    $DE \perp AB$， $DF \perp AC$， 垂足分别是 $E$、 $F$。 \\
    求证： $DE + DF = \exdfrac{1}{2} BC$。
}

\xiaoti{求证： 两个锐角三角形有两边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形全等。}

\xiaoti{求作等腰直角三角形， 使它的斜边等于已知线段。}

\xiaoti{写出下列定理的逆命题， 并且说明它们是不是真命题：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{如果 $a = 2$， 那么 $a^2 = 4$；}

    \xxt{如果一个整数的个位数字是 $5$， 那么这个数能被 $5$ 整除；}

    \xxt{如果两个三角形全等， 那么它们的对应角相等。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知： $\triangle ABC$ 中， $AB = AC$， $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，
    $AB$ 的垂直平分线交 $AD$ 于点 $O$， $\angle B$ 的平分线交 $AD$ 于点 $I$。\\
    求证：（1） $OA = OB = OC$； \\
    （2） $I$ 到 $BC$、$CA$、$AB$ 的距离相等。
}

\xiaoti{下列图形， 如果有对称轴， 作出它们的对称轴：}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=9cm]{../pic/czjh1-ch3-fuxi-27.png}
    \caption*{（第 27 题）}
\end{figure}

\end{enhancedline}
\end{xiaotis}

